n'hi ha prou amb provar que la proposició condicional

és una tautologia. Però com, d'altra banda, la proposició condicional

(on R és una proposició qualsevol), és equivalent a la [2], com es pot provar fàcilment amb la construcció de la taula de veritat adequada; podrem substituir la demostració del teorema [1] per la corresponent prova que el condicional [3] és una tautologia.

Ara bé, com R ^ ¬R és un absurd, és a dir fals; perquè [3] sigui una tautologia haurà de ser (P ^ ¬Q) fals, i com que P és veritat, per ser premissa del teorema [1], ¬Q haurà de ser fals i, per tant, Q veritat, com es volia demostrar.

De l'anterior podem concloure que la demostració del teorema [1] pot ser substituïda per la del (P^¬Q)=>(R^¬R) i que, per tant : Si usant com premisses la hipòtesi i la negació de la tesi del teorema, arribéssim a una conclusió absurda o contradictòria, podrem donar per demostrat el teorema.

Aquest tipus de demostració rep el nom de demostració per reducció a l'absurd.

Exemple de reducció a l'absurd

Demostrar per reducció a l'absurd el teorema «Dues rectes a i b, paral·leles a una tercera c, són paral·leles entre si»

Resolució:

Si representem amb P i Q, respectivament, les proposicions «Dues rectes a i b són paral·leles a una tercera recta c» i «Les rectes a i b són paral·leles entre si», llavors P serà la hipòtesi i Q la tesi del teorema a demostrar

Ara bé, sabem que la demostració d'aquest teorema pot ser substituïda per la del seu equivalent

la demostració de la qual és de la manera següent: Si les rectes a i b són paral·leles a una tercera c, i les rectes a i b no fossin paral·leles entre si, això és, es tallessin en un punt, des d'aquest punt podríem traçar dues paral·leles a c, cosa que és absurd (fals).

_____________________________________________________________

A. Burgos, Iniciación a la logica matemática, Selecciones científicas, Madrid 1976, p. 52.